بسمه تعالی
علم هندسه و شاخه هاي آن
استاد: سرکار خانم طباطبائي
محقق: مريم زارعي
دبيرستان دخترانه نرجس
دوم تجربي
بهار 86
تاريخچه هندسه
واژه انگليسي Geometry ( هندسه ) از زبان يوناني ريشه گرفته است. اين کلمه از دو
کلمه «جئو»ٍ به معناي زمين و «متري» به معناي اندازه گيري تشکيل شده است.بنابراين
هندسه اندازه گيري زمين است. مصريان اوليه نخستين کساني بودند که اصول هندسه را کشف
کردند. هر سال رودخانة نيل طغيان نموده و نواحي اطراف رودخانه راسيل فرا مي‌گرفت.
اين عمل تمام علايم مرزي ميان تقسيمات مختلف را از بين مي‌برد و لازم مي‌شد دوباره
هر کس زمين خود را اندازهگيري و مرزبندي نمايد. آنها روشي از علامت‌گذاري زمين‌ها
با کمک پايه‌ها و طناب‌ها اختراع کردند. آنها پايه‌‌اي را در نقطه‌اي مناسب در زمين
فرو مي‌کردند، پايه ديگري در جايي ديگر نصب مي‌شد و دو پايه توسط طنابي که مرز را
مشخص مي‌ساخت به يکديگر متصل مي‌‌شدند.با دو پايه ديگر زمين محصور شده ، محلي براي
کشت يا ساختمان سازي مي‌گشت.
با برآمدن يونانيان اطلاعات رياضي قدم به مرحله اي علمي گذاشت.در آغاز تمام اصول
هندسي ابتدايي بود. اما در سال 600 قبل از ميلاد مسيح ، يک آموزگار يوناني به نام
تالس، اصول هندسي را از لحاظ علمي ثابت کرد.
تالس دلايل ثبوت برخي از فرضيه‌ها را کشف کرد و آغازگر هندسة تشريحي بود. اما
دانشمندي به نام اقليدس که در اسکندريه زندگي مي‌کرد ، هندسه را به صورت يک علم
بيان نمود.
وي حدود سال 300 قبل از ميلاد مسيح ، تمام نتايج هندسي را که تا به حال شناخته بود
، گرد آورد و آنها را به طور منظم ، در يک مجموعة 13 جلدي قرار داد. اين کتابها که
اصول هندسه نام داشتند ، به مدت 2 هزار سال در سراسر دنيا براي مطالعه هندسه به کار
مي رفتند.
براساس اين قوانين ، هندسه اقليدسي تکامل يافت. هر چه زمان مي گذشت ، شاخه هاي
ديگري از هندسه توسط رياضيدانان مختلف ، توسعه مي يافت.
امروزه در بررسي علم هندسه انواع مختلف اين علم را نظير هندسة تحليلي و مثلثات،
هندسه غير اقليدسي و هندسه فضايي مطالعه مي کنيم.
خدمت بزرگي که يونانيان در پيشرفت رياضيات انجام دادند اين بود که آنان احکام رياضي
را به جاي تجربه بر استدلال منطقي استوار کردند.قبل از اقليدس، فيثاغورث( 572-500
ق.م ) و زنون ( 490 ق.م. ) نيز به پيشرفت علم رياضي خدمت بسيار کرده بودند.
در قرن دوم قبل از ميلاد رياضيداني به نام هيپارک، مثلثات را اختراع کرد. وي نخستين
کسي بود که تقسيم بندي معمولي بابلي ها را براي پيرامون دايره پذيرفت.به اين معني
که دايره را به 360 درجه و درجه را به 60 دقيقه و دقيقه را به 60 قسمت برابر تقسيم
نمود و جدولي براساس شعاع دايره به دست آورد که وترهاي بعضي قوس‌ها را به دست مي
داد و اين قديمي ترين جدول مثلثاتي است که تاکنون شناخته شده است.
بعد از آن دانشمندان هندي موجب پيشرفت علم رياضي شدند. در قرن پنجم ميلادي
آپاستامبا، در قرن ششم ، آرياب هاتا ، در قرن هفتم ،براهماگوپتا و در قرن نهم
،بهاسکارا در پيشرفت علم رياضي بسيار مؤثر بودند.
کلاس‌بندي هندسه
هنـدسه مقـدماتي به دو شاخه تقسيـم مي گردد :
• هنـدسه مسطحه
• هندسه فضايي
در هندسه مسطحه ، اشکالي مورد مطالعه قرار مي‌گيرند که فقط دو بعد دارند، هندسه
فضايي ، مطالعه اشکال هندسي سه بعدي است. اين بخش از هندسه در مورد اشکال سه بعدي
چون مکعب ها ،استوانه ها، مخروط ها، کره ها و غيره است.
در هندسه مدرن شاخه‌هاي زير مورد مطالعه قرار مي‌گيرند:
• هندسه تحليلي
• هندسه برداري
• هندسه ديفرانسيل
• هندسه جبري
• هندسه محاسباتي
• هندسه اعداد صحيح
• هندسه اقليدسي
• هندسه نااقليدسي
• هندسه تصويري
• هندسه ريماني
• هندسه ناجابجايي
• هندسه هذلولوي
•
هندسه اقليدوسي و غير اقليدسي
علومي که از يونان باستان توسط انديشمندان اسلامي محافظت و تکميل شد، از قرون
يازدهم ميلادي به بعد به اروپا منتقل شد، بيشتر شامل رياضي و فلسفه ي طبيعي بود.
فلسفه ي طبيعي توسط کوپرنيک، برونو، کپلر و گاليله به چالش کشيده شد و از آن ميان
فيزيک نيوتني بيرون آمد. چون کليسا خود را مدافع فلسفه طبيعي يونان مي دانست و
کنکاش در آن با خطرات زيادي همراه بود، انديشمندان کنجکاو بيشتر به رياضيات مي
پرداختند، زيرا کليسا نسبت به آن حساسيت نشان نمي داد. بنابراين رياضيات نسبت به
فيزيک از پيشرفت بيشتري برخوردار بود. يکي از شاخه هاي مهم رياضيات هندسه بود که آن
هم در هندسه ي اقليدسي خلاصه مي شد.
در هندسه ي اقليدسي يکسري مفاهيم اوليه نظير خط و نقطه تعريف شده بود و پنچ اصل را
به عنوان بديهيات پذيرفته بودند و ساير قضايا را با استفاده از اين اصول استنتاج مي
کردند. اما اصل پنجم چندان بديهي به نظر نمي رسيد. بنابر اصل پنجم اقليدس از يک
نقطه خارج از يک خط، يک خط و تنها يک خط مي توان موازي با خط مفروض رسم کرد. برخي
از رياضيدانان مدعي بودند که اين اصل را مي توان به عنوان يک قضيه ثابت کرد. در اين
راه بسياري از رياضيدانان تلاش زيادي کردند و نتيجه نگرفتند. خيام ضمن جستجوي راهي
براي اثبات "اصل توازي" مبتکر مفهوم عميقي در هندسه شد. در تلاش براي اثبات اين
اصل، خيام گزاره هايي را بيان کرد که کاملا مطابق گزاره هايي بود که چند قرن بعد
توسط واليس و ساکري رياضيدانان اروپايي بيان شد و راه را براي ظهور هندسه هاي
نااقليدسي در قرن نوزدهم هموار کرد. سرانجام و پس از دو هزار سال اصولي متفاوت با
آن بيان کردند و هندسه هاي نااقليدسي شکل گرفت. بدين ترتيب علاوه بر فلسفه ي طبيعي
رياضيات نيز از انحصار يوناني خارج و در مسيري جديد قرار گرفت و آزاد انديشي در
رياضيات آغاز گرديد.
1- 5اصطلاحات بنيادي رياضيات
طي قرنهاي متمادي رياضيدانان اشياء و موضوع هاي مورد مطلعه ي خود از قبيل نقطه و خط
و عدد را همچون کميت هايي در نظر مي گرفتند که در نفس خويش وجود دارند. اين موجودات
همواره همه ي کوششهاي را که براي تعريف و توصيف شايسته ي آنان انجام مي شد را با
شکست مواجه مي ساختند. بتدريج اين نکته بر رياضيدانان قرن نوزدهم آشکار گرديد که
تعيين مفهوم اين موجودات نمي تواند در داخل رياضيات معنايي داشته باشد. حتي اگر
اصولاً داراي معنايي باشند.
بنابراين، اينکه اعداد، نقطه و خط در واقع چه هستند در علوم رياضي نه قابل بحث است
و نه احتياجي به اين بحث هست. يک وقت براتراند راسل گفته بود که رياضيات موضوعي است
که در آن نه مي دانيم از چه سخن مي گوييم و نه مي دانيم آنچه که مي گوييم درست است.
دليل آن اين است که برخي از اصطلاحات اوليه نظير نقطه، خط و صفحه تعريف نشده اند و
ممکن است به جاي آنها اصطلاحات ديگري بگذاريم بي آنکه در درستي نتايج تاثيري داشته
باشد. مثلاً مي توانيم به جاي آنکه بگوييم دو نقطه فقط يک خط را مشخص مي کند، مي
توانيم بگوييم دو آلفا يک بتا را مشخص مي کند. با وجود تغييري که در اصطلاحات
داديم، باز هم اثبات همه ي قضاياي ما معتبر خواهد ماند، زيرا که دليل هاي درست به
شکل نمودار بسته نيستند، بلکه فقط به اصول موضوع که وضع شده اند و قواعد منطق بستگي
دارند.
بنابراين، رياضيات تمريني است کاملاً صوري براي استخراج برخي نتايج از بعضي مقدمات
صوري. رياضيات احکامي مي سازند به صورت هرگاه چنين باشد، آنگاه چنان خواهد شد و
اساساً در آن صحبتي از معني فرضها يا راست بودن آنها نيست. اين ديدگاه (صوريگرايي)
با عقيده ي کهن تري که رياضيات را حقيقت محض مي پنداشت و کشف هندسه هاي نااقليدسي
بناي آن را درهم ريخت، جدايي اساسي دارد. اين کشف اثر آزادي بخشي بر رياضيدانان
داشت.
2-5 اشکالات وارد بر هندسه اقليدسي
هندسه ي اقليدسي بر اساس پنچ اصل موضوع زير شکل گرفت:
اصل اول - از هر نقطه مي توان خط مستقيمي به هر نقطه ي ديگر کشيد.
اصل دوم - هر پاره خط مستقيم را مي توان روي همان خط به طور نامحدود امتداد داد.
اصل سوم - مي توان دايره اي با هر نقطه دلخواه به عنوان مرکز آن و با شعاعي مساوي
هر پاره خط رسم کرد.
اصل چهارم - همه ي زواياي قائمه با هم مساوي اند.
اصل پنجم - از يک نقطه خارج يک خط، يک خط و و تنها يک خط مي توان موازي با خط مفروض
رسم کرد.
اصل پنجم اقليدس که ايجاز ساير اصول را نداشت، به هيچوجه واجد صفت بديهي نبود. در
واقع اين اصل بيشتر به يک قضيه شباهت داشت تا به يک اصل. بنابراين طبيعي بود که
لزوم واقعي آن به عنوان يک اصل مورد سئوال قرار گيرد. زيرا چنين تصور مي شد که شايد
بتوان آن را به عنوان يک قضيه نه اصل از ساير اصول استخراج کرد، يا حداقل به جاي آن
مي توان معادل قابل قبول تري قرار داد.
در طول تاريخ رياضيدانان بسياري از جمله، خواجه نصيرالدين طوسي، جان واليس، لژاندر،
فورکوش بويوئي و ... تلاش کردند اصل پنجم اقليدس را با استفاده از ساير اصول نتيجه
بگيرنر و آن را به عنوان يک قضيه اثبات کنند. اما تمام تلاشها بي نتيجه بود و در
اثبات دچار خطا مي شدند و به نوعي همين اصل را در اثباط خود به کار مي بردند.
دلامبر اين وضع را افتضاح هندسه ناميد.
يانوش بويوئي يکي از رياضيدانان جواني بود که در اين را تلاش مي کرد. پدر وي نيز
رياضيداني بود که سالها در اين اين مسير تلاش کرده بود .
و طي نامه اي به پسرش نوشت: تو ديگر نبايد براي گام نهادن در راه توازي ها تلاش
کني، من پيچ و خم اين راه را از اول تا آخر مي شناسم. اين شب بي پايان همه روشنايي
و شادماني زندگي مرا به کام نابودي فرو برده است، التماس مي کنم دانش موازيها را
رها کني.
ولي يانوش جوان از اخطار پدير نهرسيد، زيرا که انديشه ي کاملاً تازه اي را در سر مي
پروراند. او فرض کرد نقيض اصل توازي اقليدس، حکم بي معني اي نيست. وي در سال 1823
پدرش را محرمانه در جريان کشف خود قرار داد و در سال 1831 اکتشافات خود را به صورت
ضميمه در کتاب تنتامن پدرش منتشر کرد و نسخه اي از آن را براي گائوس فرستاد. بعد
معلوم شد که گائوس خود مستقلاً آن را کشف کرده است.
بعدها مشخص شد که لباچفسکي در سال 1829 کشفيات خود را در باره هندسه نااقليدسي در
بولتن کازان، دو سال قبل از بوئي منتشر کرده است. و بدين ترتيب کشف هندسه هاي
نااقليدسي به نام بويوئي و لباچفسکي ثبت گرديد.
3-5 هندسه هاي نا اقليدسي
اساساً هندسه نااقليدسي چيست؟ هر هندسه اي غير از اقليدسي را نا اقليدسي مي نامند.
از اين گونه هندسه ها تا به حال زياد شناخته شده است. اختلاف بين هندسه هاي نا
اقليدسي و اقليدسي تنها در اصل توازي است. در هندسه اقليدسي به ازاي هر خط و هر
نقطه نا واقع بر آن يک خط مي توان موازي با آن رسم کرد.
نقيض اين اصل را به دو صورت مي توان در نظر گرفت. تعداد خطوط موازي که از يک نقطه
نا واقع بر آن، مي توان رسم کرد، بيش از يکي است. و يا اصلاً خطوط موازي وجود
ندارند. با توجه به اين دو نقيض، هندسه هاي نا اقليدسي را مي توان به دو گروه تقسيم
کرد.
يک - هندسه هاي هذلولوي
هندسه هاي هذلولوي توسط بويوئي و لباچفسکي بطور مستقل و همزمان کشف گرديد.
اصل توازي هندسه هذلولوي - از يک خط و يک نقطه ي نا واقع بر آن دست کم دو خط موازي
با خط مفروض مي توان رسم کرد.
دو - هندسه هاي بيضوي
در سال 1854 فريدريش برنهارد ريمان نشان داد که اگر نامتناهي بودن خط مستقيم کنار
گذاشته شود و صرفاً بي کرانگي آن مورد پذيرش واقع شود، آنگاه با چند جرح و تعديل
جزئي اصول موضوعه ديگر، هندسه سازگار نااقليدسي ديگري را مي توان به دست آورد. پس
از اين تغييرات اصل توازي هندسه بيضوي بصورت زير ارائه گرديد.
اصل توازي هندسه بيضوي - از يک نقطه ناواقع بر يک خط نمي توان خطي به موازات خط
مفروض رسم کرد.
يعني در هندسه بيضوي، خطوط موازي وجود ندارد. با تجسم سطح يک کره مي توان سطحي شبيه
سطح بيضوي در نظر گرفت. اين سطح کروي را مشابه يک صفحه در نظر مي گيرند. در اينجا
خطوط با دايره هاي عظميه کره نمايش داده مي شوند. بنابراين خط ژئودزيک يا مساحتي در
هندسه بيضوي بخشي از يک دايره عظيمه است.
در هندسه بيضوي مجموع زواياي يک مثلث بيشتر از 180 درجه است. در هندسه بيضوي با
حرکت از يک نقطه و پيمودن يک خط مستقيم در آن صفحه، مي توان به نقطه ي اول باز گشت.
همچنين مي توان ديد که در هندسه بيضوي نسبت محيط يک دايره به قطر آن همواره کمتر از
عدد پي است.
4-5 انحناي سطح يا انحناي گائوسي
اگر خط را راست فرض کنيم نه خميده، چنانچه ناگزير باشيم يک انحناي عددي k به خطي
نسبت دهيم براي خط راست خواهيم داشت k=o انحناي يک دايره به شعاع r برابر است با
k=1/r.
تعريف مي کنند. همچنين منحني هموار، منحني اي است که مماس بر هر نقطه اش به بطور
پيوسته تغيير کند. به عبارت ديگر منحني هموار يعني در تمام نقاطش مشتق پذير باشد.
براي به دست آوردن انحناي يک منحني در يک نقطه، دايره بوسان آنرا در آن نقطه رسم
کرده، انحناي منحني در آن نقطه برابر با انحناي دايره ي بوسان در آن نقطه است.
دايره بوسان در يک نقطه از منحني، دايره اي است که در آن نقطه با منحني بيشترين
تماس را دارد. توجه شود که براي خط راست شعاع دايره بوسان آن در هر نقطه واقع بر آن
بينهايت است.
براي تعيين انحناي يک سطح در يک نقطه، دو خط متقاطع مساحتي در دو جهت اصلي در آن
نقطه انتخاب کرده و انحناي اين دو خط را در آن نقاط تعيين مي کنيم. فرض کنيم انحناي
اين دو خط
k1=1/R1 and k2=1/R2
باشند. آنگاه انحناي سطح در آن نقطه برابر است با حاصلضرب اين دو انحنا، يعني :
k=1/R1R2
انحناي صفحه ي اقليدسي صفر است. همچنين انحناي استوانه صفر است:
k=o
براي سطح هذلولوي همواره انحناي سطح منفي است :
k
براي سطح بيضوي همواره انحنا مثبت است :
k>o
در جدول زير هر سه هندسه ها با يکديگر مقايسه شده اند:
نوع هندسه تعداد خطوط موازي مجموع زواياي مثللث نسبت محيط به قطر دايره اندازه
انحنا
اقليدسي يک 180 عدد پي صفر
هذلولوي بينهايت < 180 > عدد پي منفي
بيضوي صفر > 180 < عدد پي مثبت
4-6 مفهوم و درک شهودي انحناي فضا
سئوال اساسي اين است که کدام يک از اين هندسه هاي اقليدسي يا نا اقليدسي درست است؟
پاسخ صريح و روشن اين است که بايد انحناي يک سطح را تعيين کنيم تا مشخص شود کدام يک
درست است. بهترين دانشي کا مي تواند در شناخت نوع هندسه ي يک سطح مورد استفاده و
استناد قرار گيرد، فيزيک است. يک صفحه ي کاغذ برداريد و در روي آن دو خط متقاطع رسم
کنيد. سپس انحناي اين خطوط را در آن نقطه تعيين کرده و با توجه به تعريف انحناي سطح
حاصلضرب آن را به دست مي آوريم. اگر مقدار انحنا برابر صفر شد، صفحه اقليدسي است،
اگر منفي شد مي گوييم صفحه هذلولوي است و در صورتي که مثبت شود، ادعا مي کنيم که
صفحه بيضوي است .
در کارهاي معمولي مهندسي نظير ايجاد ساختمان يا ساختن يک سد بر روي رودخانه، انحناي
سطح مورد نظر برابر صفر است، به همين دليل در طول تلريخ مهندسين همواره از هندسه
اقليدسي استفاده کرده اند و با هيچگونه مشکلي هم مواجه نشدند. يا براي نقشه برداري
از سطح يک کشور اصول هندسه ي اقليدسي را بکار مي برند و فراز و نشيب نقاط مختلف آن
را مشخص مي کنند. در اين محاسبات ما مي توانيم از خطکش هايي که در آزمايشگاه يا
کارخانه ها ساخته مي شود، استفاده کنيم. حال سئوال اين است که اگر خطکش مورد
استفاده ي ما تحت تاثير شرايط محيطي قرار بگيرد چه بايد کرد؟ اما مي دانيم از هر
ماده اي که براي ساختن خطکش استفاده کنيم، شرايط فيزيکي محيط بر روي آن اثر مي
گذارد. البته با توجه با تاثير محيط بر روي خطکش ما تلاش مي کنيم از بهترين ماده ي
ممکن استفاده کنيم. بهمين دليل چوب از لاستيک بهتر است و آهن بهتر از چوب است.
اما براي مصافتهاي دور نظير فواصل نجومي از چه خطکشي (متري) مي توانيم استفاده
کنيم؟ طبيعي است که در اينجا هيچ خطکشي وجود ندارد که بتوانيم با استفاده از آن
فاصله ي بين زمين و ماه يا ستارگان را اندازه بگيريم. بنابراين بايد به ساير
امکاناتي توجه کنيم که در عمل قابل استفاده است. اما در اينجا چه امکاناتي داريم؟
بهترين ابزار شناخته شده امواج الکترومغناطيسي است. اگر مسير نور در فضا خط مستقيم
باشد، در اينصورت با جرت مي توانيم ادعا کنيم که فضا اقليدسي است. براي پي بردن به
نوع انحناي فضا بايد مسير پرتو نوري را مورد بررسي قرار دهيم .
اما تجربه نشان مي دهد که مسير نور هنگام عبور از کنار ماده يعني زماني که از يک
ميدان گرانشي عبور مي کند، خط مستقيم نيست، بلکه منحني است. بنابراين فضاي اطراف
اجسام اقليدسي نيست. به عبارت ديگر ساختار هندسي فضا نااقليدسي است.
هندسه فضايي
مقدمه
هندسه فضايي به بررسي موقعيت اجسام ، اجرام و نقاط متحرک يا ساکن در فضا مي‌پردازد،
فضا مختصاتي سه بعدي دارد شامل طول ، عرض ، ارتفاع که اين ابعاد را با x ، y و z در
صفحه مختصات فضايي نمايش مي‌دهيم. مهمترين مبحث در هندسه فضايي مبحث بردارها
مي‌باشند. بنابراين در هندسه فضايي به مؤلفه‌هاي برداري ، بردارهاي يکه ، صفحات ،
فاصله‌ها و ... خواهيم پرداخت.
مؤلفه‌هاي برداري و بردارهاي يکه i ، k , j
بعضي از کميات فيزيکي مانند طول و جرم اندازه پذير هستند و توسط اندازه‌شان کاملا
معين مي‌شوند، اين کميات و کميات نظير آنها را کميات اسکالر مي‌گوئيم. اما کميات
ديگري وجود دارند که علاوه بر اندازه بايد جهت آنها نيز مشخص باشد تا معين شوند اين
کميات را کميات برداري گوئيم. يک بردار را معمولا با پاره خطي جهتدار نمايش مي‌دهند
که جهتش نمايش جهت بردار بوده و طولش بر حسب يک واحد اختيار شده نمايش اندازه‌اش
مي‌باشد. دو بردار را زماني مساوي مي‌ناميم که از لحاظ جهت و اندازه يکسان باشند.
بهترين جبر بردارها مبتني بر نمايش آنها بر حسب مؤلفه‌هاي موازي محورهاي مختصات
دکارتي است. اين کار با استفاده از واحد طول يکسان بر سه محور x ، z , y صورت مي
گيرد و در اين راه از بردارهاي با طول يک در امتداد محورها به عنوان بردارهاي يکه
استفاده مي‌شود که i را بردار يکه محور j ، x را بردار يکه محور y ها و k را بردار
يکه محور z ها مي‌گوئيم.
مهمترين ويژگي بردارها در فضا مانند حالتي است که در صفحه قرار دارند طول و جهت
آنها است. طول بردارها با دو بار استفاده از قضيه فيثاغورس به دست مي‌آيد. اما به
صورت ساده‌تر جهت بردار ناصفر بردار واحدي است که از تقسيم مؤلفه‌هاي آن بر طولش به
دست مي‌آيد.
بردار بين دو نقطه در فضا
بيشتر اوقات لازم است که بردار بين نقاط را بدست آوريم. هندسه فضايي اين مشکل را
براي ما حل مي‌کند، به اين ترتيب که اگر دو نقطه را برحسب مختصات فضايي که دارند
بيان کنيم بردار بين اين دو نقطه توسط رابطه زير حاصل خواهد شد:
فاصله در فضا
براي يافتن فاصله بين دو نقطه به مختصات گفته شده در مطلب بالا از مجموع توان دوم
هر يک از مؤلفه‌هاي فوق راديکال با فرجه دوم مي‌گيريم بنابراين داريم:
حاصل عبارت فوق يک کميت اسکالر مي‌باشد.
وسط يک پاره خط در فضا
براي پيدا کردن وسط يک پاره خط که دو نقطه را به هم وصل مي‌کند متوسط و يا به
عبارتي ميانگين مختصات را بدست مي‌آوريم.
کره و استوانه
علاوه بر مطالب فوق هندسه فضايي به مطالعه کره و استوانه نيز مي‌پردازد. معادله
متعارف کره به شعاع a و مرکز به صورت زير است:
در مورد استوانه و مطالعه درباره استوانه ناچار به تعميم هندسه تحليلي به فضا
هستيم. به طور کلي استوانه سطحي است که از حرکت خط مستقيم در امتداد يک منحني توليد
مي‌شود به طوري که همواره موازي خط مي‌باشد. به طور کلي ، هر منحني مانند
در صفحه استوانه‌اي در فضا تعريف مي‌کند که معادله آن به صورت فوق مي‌باشد و از
نقاط خطوطي مار بر منحني تشکيل شده است که با محور z موازي‌اند. خطوط را گاهي عناصر
استوانه مي‌نامند. بحث فوق را مي‌توان براي استوانه‌هايي که عناصرشان موازي ساير
محورهاي مختصات‌اند تکرار کرد. به طور خلاصه: يک معادله در مختصات دکارتي ، که از
آن يکي از مختصات متغير حذف شده، نمايش استوانه اي است که عناصرش موازي محور مربوط
به متغير مفقود است. سهمي گونها يکي ديگر از اشکال مختصات فضايي هستند. بسياري از
آنتنها به شکل قطعاتي از سهمي گونهاي دوارند، راديو تلسکوپها يکي ديگر از انواع
سهمي گونهاي مورد استفاده بشر هستند که در ساخت آنها از هندسه فضايي مدد گرفته شده
است.
منشور
منشور قائم شکلي فضايي است که از دو يا چند ضلعي مساوي و موازي تشکيل شده که رئوس
اين چندضلعيها طوري به هم وصل شده اند که وجوه جانبي اين شکل فضايي مستطيل مي‌باشد.
مکعب مستطيل
مکعب مستطيل منشوري است که قاعده‌هاي آن مستطيل مي‌باشد اگر ابعاد قاعده مکعب
مستطيل b , a و ارتفاع آن c باشد خواهيم داشت:
a+b)2c) = مساحت جانبي مکعب مستطيل
(ab+ac+bc)2=2ab+(2bc+2ac)= مساحت کل مکعب مستطيل
Abc= حجم مکعب مستطيل
هرم
هرم شکلي است فضايي که قاعده آن يک يا چند ضلعي است و وجوه جانبي آن مثلث است. اين
مثلثها يک رأس مشترک به نام S دارند. هرمي که قاعده آن مربع باشد هرم مربع القاعده
و هرمي که قاعده آن مثلث باشد هرم مثلث القاعده ناميده مي‌شود. پاره خطي که از رأس
هرم بر صفحه قاعده آن عمود مي‌شود ارتفاع ناميده مي‌شود. اگر قاعده يک هرم يک چند
ضلعي منتظم باشد پاي ارتفاع آن بر مرکز قاعده منطبق باشد، هرم را هرم منتظم
مي‌ناميم. ارتفاع هر وجه جانبي هرم منتظم را سهم هرم مي‌نامند.
2/سهم×محيط قاعده= مساحت جانبي هرم منتظم
ارتفاع×مساحت قاعده ×3/1 = حجم هرم
مخروط
اگر يک مثلث قائم الزاويه را حول يکي از اضلاع زاويه قائمه دوران دهيم شکلي فضايي
پديد مي‌آيد که مخروط ناميده مي‌شود. در اين صورت ضلعي که مثلث را حول آن دوران
داده‌ايم ارتفاع مخروط و ضلع ديگر زاويه قائمه شعاع قاعده مخروط و وتر مثلث مولد
مخروط مي‌باشد.
2 / مولد مخروط×محيط قاعده مخروط = مساحت جانبي مخروط
ارتفاع×مساحت قاعده×3/1 = حجم مخروط
تاريخچه مثلثات
اولين کساني که از مثلثات استفاده مي‌کردند يونانيان بودند.در يونان قديم از مثلثات
براي تعيين طول مدت روز يا طول سال (با مشخص کردن موقعيت ستارگان در آسمان)استفاده
مي‌شد.بعدها رياضيدانان و منجمان هندي نيز پيشرفت‌هايي در مثلثات بدست آوردند ولي
پيشرفت اين علم مديون دانشمندان مسلمان است .مسلمانان اصلي‌ترين نقش را در پيشرفت
اين علم ايفا کردند و سپس اين اندوخته‌ها را در قرون وسطي به اروپاييان منتقل
کردند. اروپاييان نيز دانش فراوان مسلمانان در مثلثات استفاده کردند و اين علم را
توسعه داده و به شکل امروزي در آوردند.
کاربردها
علم مثلثات در نجوم کاربرد فراواني دارد و ازآن براي اندازهگيري فواصل بين
ستارگان استفاده مي‌شود. همچنين در طراحي سيستم‌هاي ماهواره اي از مثلثات استفاده
فراواني مي‌شود.در دريانوردي نيز از مثلثات براي تشخيص جهت‌هاي جغرافيايي کمک گرفته
مي‌شود.امروزه از مثلثات در شاخه هاي مختلف فيزيک ماننداپتيک ، اکوستيک ، در تحليل
بازارهاي مالي، الکترونيک ، معماري ، اقيانوس شناسي ، مکانيک ، بلور شناسي ، ژئودزي
، عمران و اقتصاد استفاده فراواني مي‌شود.
هندسه تحليلي
مقدمه
هندسه تحليلي شامل مباحثي چون بردارها ، معادلات حرکت پرتابه ، معادلات خط ، ضرب
عددي و برداري، بردارها. مقاطع مخروطي که در هندسه يونان پا گرفت و امروزه با
معادلات درجه دو بعنوان منحني‌هايي در صفحه مختصات توصيف مي‌شوند يونانيان زمان
افلاطون اين منحني‌ها را فصل مشترک يک صفحه با يک مخروط مي‌گرفتند که نام مقطع
مخروطي از آن ناشي شده است. نکته‌اي که حائز اهميت اشاره به اين مسئله است که در
مطالعات هندسه تحليلي مختصات دکارتي از اهميت فوق‌العاده‌اي دارد زيرا توسط اين
مختصات ما مي‌توانيم طول و عرض و ارتفاع اجسامي را که مي‌بينيم به صفحه منتقل کرده
و درباره آنها براحتي به مطالعه پردازيم.
بردارها
برخي از کميات که اندازه مي‌گيريم با اندازه‌شان کاملا مشخص مي‌شوند مانند جرم ،
طول ، زمان. اما همانطور که مي‌دانيم توصيف يک نيرو ، تغيير مکان و سرعت تنها با
اندازه مشخص نمي‌شوند بلکه براي درک صحيحي از آنها بايد جهت آنها نيز براي ما مشخص
باشند کمياتي که علاوه بر اندازه داراي جهت نيز مي‌باشند معمولا با پيکانهايي به
نمايش درمي‌آيند که به جهت اثر کميت اشاره مي‌کنند و طول‌هايشان به اندازه اثر آنها
برحسب واحد مشخص اشاره مي‌کنند. به اين کميات بردار مي‌گوييم.
يک بردار واقع در صفحه عبارت است از پاره‌خطي جهتدار از آنجا که بردار اساسا از طول
و جهت تشکيل مي‌شود و بردار را همسنگ و يا حتي يکي مي‌ناميم هرگاه طول و جهتشان يکي
باشد.
بردارهاي نوين امروزي ريشه در کواترنيونها دارند. کواترنيونها تعميمي هستند از جفت
به چهارتايي مرتب . جبر کواترنيونها را ويليام هميلتن رياضيدان ايرلندي (1805-1865)
ابداع کرد. اما مهندسان علي‌الخصوص اوليور هويسايد آناليز برداري را رواج دادند.
برخي از فيزيکدانان از جمله شاخص‌ترين آنها جيمز کلارک ماکسول ، از هر دو مضمون
کواترنيونها و بردارها بهره بردند. سرانجام مقارن با تحويل قرن ، آناليز برداري
گيبس و هوسيايد غلبه کرد. مهندسان از جمله نخستين معتقدان، فيزيکدانان از نخستين
گروندگان و رياضيدانان آخرين پذيرندگان اين باب از رياضيات بودند.
بردارها درفضا
مهمترين ويژگي بردارها در فضا مانند حالتي که در صفحه داشتند طول و جهت آنهاست. طول
برداري مانند با دوبار استفاده از قضيه فيثاغورث بدست مي‌آيد. و جهت آنها از تقسيم
مولفه‌هاي برداري چون A بر اندازه‌اش بدست مي‌آيد.
معادلات پارامتري حرکت ايده‌آل پرتابه
براي بدست آوردن معادلات حرکت پرتابه فرض مي‌کنيم پرتابه مانند ذره‌اي رفتار مي‌کند
که در صفحه مختصات قائم حرکت مي‌کند و تنها نيروي موثر بر آن در ضمن حرکتش ، نيروي
ثابت گرانش است که همواره روبه پايين است. در عمل هيچ يک از اين فرضيات برقرار نيست
زمين در زير پرتابه مي‌چرخد هوا نيروي اصطکاکي ايجاد مي‌کند که به سرعت و ارتفاع
پرتابه بستگي دارد. براي توصيف حرکت در يک دستگاه مختصات مشخص فرض مي‌کنيم پرتابه
در لحظه از مبدا صفحه xy پرتاب مي‌شود. همچنين فرض مي‌کنيم پرتابه در ربع اول حرکت
مي‌کند و مقدار سرعت اوليه است و بردار سرعت با محور xهاي مثبت زاويه مي‌سازد. در
هر لحظه t ، ، مکان پرتابه با جفت مختصات . مشخص مي‌شود. بنابراين پس از ساده
کردن يک سري از معادلات به روابط زير دست مي‌يابيم که مکان ذره t ثانيه پس از پرتاب
براي ما مشخص مي‌سازد:
مسير ايده‌آل يک سهمي است.
اغلب ادعا مي‌شود که مسير حرکت آبي که از يک لوله بيرون مي‌جهد يک سهمي است اما اگر
به دقت اين مسير بنگريم مي‌بينيم که هوا سقوط آب را کند مي‌کند و حرکت آن رو به جلو
آنقدر کند است که از انتهاي سقوطش از شکل سهموي خارج مي‌شود. ادعايي که در مورد
سهموي بودن حرکت مي‌شود فقط در مورد پرتابه‌هاي ايده‌آل واقعا درست است. اين مطلب
را مي‌توان از روابط که در بالا براي y ,x ذکر شد بدست آورد. بدين ترتنيب که هرگاه
مقدار t را از معادله x بدست آورديم و آن را در معادله y جاگذاري کنيم معادله
دکارتي بدست آمده نسبت به x از درجه دوم و نسبت به y از درجه اول است پس نمودارش يک
سهمي است.
خط در فضا
فاصله در فضا
گاهي لازم است که فاصله بين دو نقطه مثل در فضا مشخص باشد براي اين کار طول را
مي‌يابيم که در اينصورت داريم:
وسط پاره خط
مختصات نقطه وسط M پاره‌خطي که دو نقطه را بهم وصل مي‌کند متوسط مختصات هستند. براي
پي‌بردن به دليل اين مطلب کافي است توجه کنيم که اين نقطه مختصات مولفه عددي برداري
است که مبدا را به M وصل مي‌کند که به اين ترتيب تمام مولفه‌هاي M از نصف مجموع
مولفه‌هاي نظير به نظير بدست مي‌آيد.
زواياي بين خم‌ها
زواياي بين دو خم مشتق‌پذير در يک نقطه تقاطع آنها عبارت‌اند از زواياي بين خطهاي
راس بر آنها در آن نقطه.
معادله‌هاي خط و پاره‌خط
فرض مي‌کنيم L خطي باشد در فضا که از نقطه بگذرد و موازي با بردار باشد. پس L
مجموعه نقاطي است مانند به قسمي که بردار با V موازي است يعني P بر L واقع است اگر
و تنها اگر به ازاي عددي مانند t داشته باشيم: اين معادلات را پس از ساده کردن
بصورت معادلات پارامتري متعارف خط L درست مي‌يابيم که عبارت‌اند از:
وقتي پارامتر t از تا افزايش مي‌يابد نقطه دقيقا يکبار خط را مي‌پيمايد. وقتي t
بازه بسته را مي‌پيمايد، P از نقطه‌اي که در آن t=a تا نقطه‌اي که در آن t=b بر روي
يک پاره‌خط جابجا مي‌شود.
فاصله يک نقطه از يک خط
براي يافتن نقطه‌اي چون P از خطي مانند L کافي است براي اولين قدم نقطه‌اي مانند Q
را روي L در نظر بگيريم که نزديکترين فاصله را تا P داشته باشد سپس براي قدم دوم
لازم است فاصله P تا Q را محاسبه کنيم بدين ترتيب فاصله يک نقطه از خط ديگري را
بدست آورده‌ايم.
معادله صفحه
فرض مي‌کنيم M معرف صفحه‌اي از فضاست که از نقطه مي‌گذردو بر بردار ناصفر عمود است.
پس M از مجموعه نقاطي مانند تشکيل مي‌شود که به ازاي آنها بردار بر N عمود است.
يعني P روي M است اگر و تنها اگر:
با جاگذاري عبارت معادل در تساوي فوق معادله صفحه حاصل مي‌شود.
زاويه بين دو صفحه ، فصل مشترک دو صفحه
بنابه تعريف زاويه بين دو صفحه متقاطع ، زاويه حاده‌اي است که دو بردار قائم بر
آنها با هم مي‌سازند. بنابراين زاويه بين دو صفحه که بردارهاي قائم بر دو صفحه‌اند
توسط رابطه زير حاصل مي‌شود:
(منظور از | | ، اندازه بردارها مي‌باشد.)
براي يافتن معادلات پارامتري فصل مشترک دو صفحه ابتدا برداري موازي با فصل مشترک و
سپس نقطه‌اي واقع بر فصل مشترک مي‌يابيم. همانطور که مي‌دانيم هر بردار که موازي با
فصل مشترک دو صفحه باشد با هر دو صفحه مفروض موازي است لذا بر بردارهاي قائم بر آن
دو صفحه عمود است. بنابراين با يافتن بردار حاصل ضرب خارجي بردارهاي عمود بر صفحات
مي‌توان بردار موازي فصل مشترک را بيابيم. براي يافتن نقطه‌اي روي فصل مشترک بايد
نقطه‌اي بيابيم که در هر دو صفحه باشد بدين منظور z=0 را در معادلات صفحه قرار
مي‌دهيم و دستگاه حاصل را نسبت به x , y حل مي‌کنيم نقطه حاصل در هر دو صفحه خواهد
کرد.
کاربردها
هندسه تحليلي همانطور که از نامش پيداست به تحليل و کنجکاوي هندسه و روابط هندسي
مي‌پردازد و کاربردهاي آن در مسير علوم از جمله فيزيکي - اخترشناسي- هوافضا- حتي
شيمي غيرقابل انکار است. همه مطالب ذکر شده فوق مقدمه‌اي است براي بررسي مفصل‌تر
حرکت. مبحث بردارها پايه خوبي براي بسط و گسترش حساب ديفرانسيل و انتگرال فراهم
آورده است.
هندسه تصويري
فرض کنيد دو صفحه و در فضا داريم که لزوماً موازي يکديگر نيستند. در اين صورت، براي
به دست آوردن تصوير مرکزي به روي از مرکز مفروض که در يا واقع نيست، مي‌توان تصوير
هر نقطه از را نقطه‌اي چون از تعريف کرد که و روي يک خط راست گذرنده از قرار داشته
باشند.
همچنين مي‌توان تصوير موازي را به اين طريق به دست آورد که خطهاي تصوير کننده را
موازي در نظر بگيريم. همين‌طور تصوير يک خط در واقع صفحه به روي خط ديگري چون در هم
به صورت تصوير مرکزي از يک نقطه ، و هم به صورت تصوير موازي تعريف مي‌شود. تبديل يک
شکل به شکل ديگر از طريق تصوير موازي يا مرکزي و يا به وسيله رشته‌اي متناهي از اين
تصوير کردنها، تبديل تصويري ناميده مي‌شود.
هندسه تصويري صفحه يا خط عبارت از مجموعه آن گزاره‌هاي هندسي است که بر اثر
تبديلهاي تصويري دلخواه شکلها تغييري در صدق آنها پديد نمي‌آيد. در مقابل، هندسه
متري به مجموعه‌اي از گزاره‌ها، راجعه به اندازه‌هاي شکلها، اطلاق مي‌شود که فقط
تحت حرکتهاي صلب شکلها صادق مي‌مانند.
به بعضي از ويژگيهاي تصويري فوراً مي‌توان پي‌برد. تصوير هر نقطه، يک نقطه است. به
علاوه، تصوير هر خط راست، يک خط راست است زيرا اگر خط واقع در به روي صفحه تصوير
شود، تقاطع با صفحه گذرنده از و ، خط راست خواهد بود. اگر نقطه و خط راست ملازم هم
باشند. آنگاه پس از هر عمل تصوير، نقطه متناظر و خط متناظر نيز ملازم هم خواهند
بود. پس ملازمت يک نقطه و يک خط تحت گروه تصويري ناورداست. اين واقعيت، پيامدهاي
ساده ولي مهمي دارد. اگر سه يا تعداد بيشتري نقطه همخط باشند، يعني ملازم با يک خط
راست باشند، تصويرهاي آنها نيز همخط خواهند بود. همچنين اگر سه يا تعداد بيشتري خط
راست همرس باشند يعني ملازم با يک نقطه باشند، تصويرهاي آنها نيز خطهاي راست همرسي
خواهند بود. در حالي که اين ويژگيهاي ساده – ملازمت،همخطي، و همرسي – ويژگيهاي
تصويري (يعني ويژگيهاي ناوردا تحت عمل تصوير) هستند، اندازه‌هاي طول و زاويه، و
نسبتهاي چنين اندازه‌هايي، عموماً بر اثر تصوير کردن تغيير مي‌کنند. مثلثهاي
متساوي‌الساقين يا متساوي‌الاضلاع را مي‌توان به مثلثهاي مختلف‌الاضلاع تصوير کرد.
پس اگر چه «مثلث» مفهومي متعلق به هندسه تصويري است مثلث متساوي‌الاضلاع چنين نيست
و فقط به هندسه متري تعلق دارد.
منابع:
1- سه حکيم مسلمان
2- لغت نامه دهخدا به نقل از اخبار الحکما و ناظم الاطباء
3- المناظر هندسه ای که خود اقليدوس بنا نهاد و به نام هندسه اقليدسی مشهور است
4- http://en.wikipedia.org/wiki/Trigonometry
5- http://en.wikipedia.org/wiki/Triangle
6- http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/www.mathworld.com